Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Уильяма Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел синтетической дифференциальной геометрии.

Нильпотентными инфинитезималями называют числа ${\displaystyle \varepsilon }$, удовлетворяющие условию ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$; при этом совсем не обязательно ${\displaystyle \varepsilon =0.}$

Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключённого третьего, утверждающего, что из ${\displaystyle \neg (a\neq b)}$ следует ${\displaystyle a=b.}$ В частности, для некоторых инфинитезималей ${\displaystyle \varepsilon }$ нельзя доказать ни ${\displaystyle \varepsilon =0}$, ни ${\displaystyle \neg (\varepsilon =0)}$. То, что закон исключённого третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы:

В гладком инфинитезимальном анализе любая функция, домен которой — ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (вещественные числа, дополненные инфинитезималями), непрерывна и бесконечно дифференцируема.

Несмотря на это, можно попробовать определить разрывную функцию, например, как

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x=0,\\0,&x\neq 0.\end{cases}}}$

Если бы закон исключённого третьего выполнялся, это было бы полностью определённой, разрывной функцией. Однако существует множество значений ${\displaystyle x}$ — инфинитезималей, — для которых не выполняется ни ${\displaystyle x=0}$, ни ${\displaystyle x\neq 0}$, так что эта функция определена не на всём ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно, эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями.

Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — ${\displaystyle 1/\omega }$, где ${\displaystyle \omega }$ — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается принцип переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но недоказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе.

Интуитивно гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определённое направление, но недостаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удаётся потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.